La lógica matemática inicia con el estudio de las proposiciones. Una proposición es una afirmación que sin ningún tipo de ambigüedad se puede decir si es verdadera o no. Los siguientes son ejemplos de proposiciones:
2+4=6.
52=35.
La primera es una proposición verdadera y la segunda es una proposición falsa.
Los siguientes son ejemplos de expresiones que no son proposiciones:
Ella es rubia.
2x=6.
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En la primera proposición, no se especifica quién es “ella”, por lo tanto no se puede afirmar nada. En la segunda proposición, no se ha especificado qué representa “x”. Si en lugar se dijera que 2x=6 para algún número natural x, en este caso sí correspondería a una proposición, de hecho verdadera, ya que para x=3 se cumple. Las últimas dos afirmaciones no corresponden a una proposición, ya que no hay manera de negarlas o afirmarlas.
Dos o más proposiciones se pueden combinar (o conectar) usando los conocidos conectivos (o conectores) lógicos. Estos son:
Negación: “No está lloviendo”.
Disyunción: “Luisa compró un bolso blanco o gris”.
Conjunción: “42=16 y 2×5=10”.
Condicional: “Si llueve, entonces no voy al gimnasio esta tarde”.
Bicondicional: “Voy al gimnasio esta tarde si, y solo si, no llueve”.
A una proposición que no posea ninguno de los conectivos anteriores, se le llama proposición simple (o atómica). Por ejemplo, “2 es menor que 4”, es una proposición simple. Las proposiciones que posean algún conectivo se les llaman proposiciones compuestas, como por ejemplo “1+3=4 y 4 es un número par”.
Las declaraciones hechas por medio de proposiciones suelen ser largas, por lo que resulta tedioso escribirlas siempre como se ha visto hasta ahora. Por ello, se hace uso de un lenguaje simbólico. Las proposiciones se suelen representar por letras mayúsculas como P, Q, R, S, etc. Y los conectivos simbólicos de la siguiente manera:
Otro concepto importante en lógica es el de tablas de verdad. Los valores de verdad de una proposición son las dos posibilidades que se tiene para una proposición: verdadera (que se denotará por V y se dirá que su valor de verdad es V) o falsa (que se denotará por F y se dirá que su valor de verdad es F). El valor de verdad de una proposición compuesta depende exclusivamente de los valores de verdad de las proposiciones simples que aparecen en ella. Para trabajar de manera más general, no se considerarán proposiciones específicas, sino variables proposicionales p, q, r, s , etc., que representarán proposiciones cualesquiera. Con estas variables y los conectivos lógicos se forman las conocidas fórmulas proposicionales al igual que se construyen las proposiciones compuestas. Si cada una de las variables que aparecen en una fórmula proposicional se sustituye por una proposición, se obtiene una proposición compuesta. A continuación se presentan las tablas de verdad para los...
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